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智力题:开锁(平方数相关)

题目: 在一条长长的走廊上依次排列着100把锁着的锁头。你从把这100把锁全部打开开始(第1遍)。然后,你把所有序号是2的倍数的锁头再锁上(第2遍)。接下来,你依次走到所有序号是3的倍数的锁头前,如果它是打开的,就把它锁上;如果它是锁上的,就把它打开——我们把这称为“切换锁头的状态”(第3遍)。你继续像这样在第N遍去切换所有序号是N的倍数的锁头的状态。当进行到第100遍时,你将只切换第100把锁头的状态。

问题: 什么样的门会在100次之后打开?

分析:
最开始锁头全是锁着的,要计算最后打开的锁的数量,即计算和最初状态不同的锁头的数量。
锁头和最初状态不同,即表示锁头开关过奇数次。那么什么样的锁开关过奇数次呢?
分析锁头的开关处理,发现在其约数时会改变状态一次。那问题变成什么数的约数为奇数个。
随意分析一下,可以得出平方数的约数个数为奇数个,其它数都为偶数个。

结论:
那么100以内的平方数有:1,4,9,16,25,36,49,64,81,100。即这十把锁是打开的,其它90把都是锁着的。

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